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分辨率是掃描電鏡（SEM）重要的參數之一。分辨率越好，可以看到的特征尺寸越小。分辨率的好壞往往取決于聚焦在樣品上的電子束斑的直徑（即束斑尺寸）。

在非理想電子光學系統中，束斑尺寸會因像差而變大。什么是電子光學系統中的像差？它們如何影響束斑尺寸？在這篇博客中，將回答這些問題并進行深入的分析。

一個非常簡單的電子光學系統的例子

在之前的博客中，談到了鏡筒和透鏡組。通常，鏡筒由一組透鏡組成，這些透鏡具有約束電子束并將電子聚焦于樣品表面的功能。樣品上的束斑尺寸決定了電子顯微鏡的分辨率。但是，束斑尺寸是如何定義的呢？看看簡單的電子光學系統，如圖 1 所示。

圖1：簡單的電子光學系統由一個位于頂部的電子光源及聚焦電子束到樣品表面的透鏡組成。

在這個系統中，我們知道電子源與透鏡之間的距離（物距）和透鏡與樣品之間的距離（像距）。像距通常也稱為工作距離，它隨樣品高度的變化而變化。像距與物距的比值給出了電子光學系統的放大倍數。

對束斑尺寸的份貢獻來自電子發射源的縮聚，加上電子源的確有一個尺寸，它并不是無限小的。電子源的貢獻尺寸 - d_source 是由電子源的大小乘以電子光學系統的放大倍數：d_source= M?S_source

其中 M 為放大倍數，S_source 為電子源大小。因此，如果一個虛擬大小為 50 nm 的電子源和一個電子光學系統，其中像距離是物距的一半，電子源貢獻的探針尺寸是 25 nm。這意味著，即使對于沒有像差的理想透鏡系統，小的束斑尺寸是 25nm。

電子光學系統中的像差

實際上，透鏡并不理想，這就會帶來像差。像差的存在，使得樣品上的探針變得模糊，尺寸增大。在電子光學系統中，束斑尺寸受球差和色差的影響。

當光束中內部和外部的光沒有聚焦在同一平面上時，就會產生球差。在圖 2 的例子中，外部光線1聚焦在離透鏡較近的平面（平面 1）上，而內部光線（光線 3）聚焦在較低的平面（平面 3）上。

事實上，離光軸越遠，光線偏轉的幅度就越大，因為此處透鏡更強力。因此，如果樣品位于平面 1 和平面 2 之間，如圖 2 所示，那么光束的大小將受到所有光線無法聚焦于同一平面的影響。

球差公式：

k是一個常數，C_s是取決于透鏡的類型及其幾何形狀的球面像差系數，α為光束的半開角，如圖 1 所示。

球面像差取決于光束的半開角的 3 次方，這意味著樣品離透鏡越近，角度越大，球面像差的值越大。

圖2：球差示意圖。外部光線（光線 1）聚焦在離透鏡較近的平面（平面 1）上。

在電子束中，各個電子的速度和能量并不相同。電子束中電子能量的變化稱為能量擴散。因為電子的速度不一樣，它們的匯聚路徑也有所不同。

事實上，速度更快的電子（能量更大）更難偏轉，這意味著它們將聚焦在離透鏡更遠的平面上，如圖 3 所示。這種效應稱為色差。

色差公式：

k 是一個常數，C_C 是取決于透鏡強度的色差系數，δU 為能量分散，V 是電子束的加速電壓，α 是樣品上電子束的半開角，如圖 1 所示。

色差值取決于光束的半開角，即樣品離透鏡越近，角度越大，值越大。

圖3：色差示意圖。能量較低的電子比能量較高的電子聚焦得更靠近透鏡。

對電子束斑大小有什么影響?

電子源的尺寸并非無限小，球差和色差的增大都增加了樣品上束斑尺寸。計算總值 d_TOT 的一種簡單方法是：

其中 d_source 為電子源尺寸的值，d_s 為球差，d_c 為色差。可以計算不同工作距離下探針尺寸， 改變束斑尺寸有效的方式是改變電子束的半開角 α，如圖 1 所示。

當半開角增大時，即樣品離物鏡的距離越近，球差的值越大，而對于小的半開角，束斑尺寸主要取決于電子源的大小。

如圖 1 所示，球差，色差，電子源像尺寸與電子束半開角對終束斑尺寸的影響曲線。